IEEE 754 부동소수점이란?

IEEE 754

• 부동소수점을 표현하는 표준이다.
  • 부동소수점은 가수부(유효 숫자)와 지수부(소수점의 위치)를 나눠 소수를 표현하는 것이다.
• IEEE 는 전기전자공학자협회 (Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE) 를 말한다.

IEEE 754가 정의하는 것들

위키피디아 에 나와있으나 이것들을 몰라도 개발자가 적당히 IEEE 754 를 이해하는데는 큰 문제가 없다.

• 산술 형식
• 압축 인코딩 방식
• 반올림 규칙
• 작동 방식
• 예외처리

구조

총 3가지 부분으로 나뉜다.

• 부호 비트
  • 1 비트
• 지수부 (Exponent bits, e 비트)
  • 8 비트
• 가수부 (Fraction bits 혹은 Mantissa, f 비트)
  • 23 비트

예제1: -118.625 표현해보기

• 총 32비트이다. 그니까 32비트를 먼저 0으로 작성해보자.
  • 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
• 32비트를 부호 비트, 지수부, 가수부 로 나누자.
  • 0 (1, 부호) 0000 0000 (8, 지수) 000 0000 0000 0000 0000 0000 (23, 가수)
• 음수의 부호 비트는 1이다.
  • 1 (1, 부호) 0000 0000 (8, 지수) 000 0000 0000 0000 0000 0000 (23, 가수)
• 부호 비트를 표기했으니, - 부호를 제외한 118.625 를 2진법으로 바꾸어야 한다.
  • 0111 0110 (118) . 101 (0.625)
• 맨 왼쪽에 1 하나만 존재하도록 우측으로 시프트 연산을 해주어야 한다.
  • 6번 오른쪽으로 시프트 연산을 하면 1하나만 남게 된다.
  • 01 . 110110101 -> 1 . 110110101 * 2^6
  • 1 . 110110101 * 2^6 을 정규화된 부동소수점 수 라고 한다.
• 정규화된 부동소수점 수를 기준으로 지수부와 가수부를 만든다.
• 지수부 만들기
  • 지수부는 이전에 정규화된 부동소수점 수 를 만들기 위해 시프트 연산을 한 횟수를 기준으로 한다.
  • 총 6 번 시프트 연산을 하였으므로, 6 을 넣을 것이다.
  • 그런데 그냥 6 을 넣는 것이 아니라 bias 값 127 을 추가해야 한다.
    • 값 비교 혹은 무한대, NaN 과 같은 특수한 값을 편하게 다루기 위해서 bias 가 사용된다.
    • 6 + 127 즉, 133 을 지수부에 넣으면 된다.
    • 비트로 쉽게 생각하고 싶다면 128 + 5 로 생각하면 쉽다.
  • 1000 0101 가 지수부가 된다.
• 가수부 만들기
  • 가수부는 정규화된 부동소수점 수 의 소수점 이하 숫자 뒤에 0 을 덧붙여서 총 23 비트로 만들면 된다.
  • 000 0000 0000 0000 0000 0000 이렇게 먼저 23자리 수를 만들어놓고 덧씌우면 쉽다.
  • 110 1101 0100 0000 0000 0000 이게 가수부가 된다.

-118.625 를 IEEE 754 로 표현하면, 1 (1, 부호) 1000 0101 (8, 지수) 110 1101 0100 0000 0000 0000 (23, 가수) 이다.

10진수를 IEEE 754 로 표현하는 방법 정리

• 2진수 표현으로 변환한다.
• 정규화된 부동소수점 수 를 구한다.
• bias 와 시프트 연산 횟수 를 통해 지수 비트 를 구한다.
• 정규화된 부동소수점 수 의 소수점 이하 수에 패딩을 붙여 가수 비트 를 구한다.
• 부호 비트 를 구한다 (0: 양수, 1: 음수)
• 합친다.

IEEE 754 의 종류

• 위에서 IEEE 754 를 배워봤다.
• 여태까지 배운 IEEE 754 는 사실 단일 정밀도라고 불리는 32bit 버전의 IEEE 754 이다.
• IEEE 754 는 필요에 의해 보통 2가지 정밀도로 나뉜다.
  • 단일 정밀도, 단정도, 단정밀도, Single Precision 으로 불리는 32비트 표현방식
  • 배 정밀도, 배정도, 배정밀도, Double Precision 으로 불리는 64비트 표현방식
• C언어에서는 float 이 단정밀도와 대응되고 double 이 배정밀도와 대응된다.

정밀도가 나뉘는 이유

• 간단하게 우리가 원주율(PI)을 이용해 계산을 할 때, 보통 3.141592 라는 값으로 치환하여 계산한다.
• 그 뒤에 분명 더 붙는 숫자가 있지만, 일반적인 분야에서는 그만큼의 정밀도가 필요하지 않다.
• IEEE 754 의 단정밀도, 배정밀도도 마찬가지이다.

단일 정밀도 IEEE 754

• 32비트로 부동소수점을 표현한다.
• ex. -118.625 -> 1 (1, 부호) 1000 0101 (8, 지수) 110 1101 0100 0000 0000 0000 (23, 가수)

배 정밀도 IEEE 754

• 64비트로 부동소수점을 표현한다.
• ex. -118.625 -> 1 (1, 부호) 100 0000 0101 (11, 지수) 1101 1010 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 (52, 가수)

예제2: -118.625 표현해보기 (double precision)

상세한 과정은 예제1 에서 다뤘으니, 예제2 는 간단하게 구해볼 것이다.

• -118.625 의 2진수 표현은 1110110.101 이다.
  • 118 은 2진수로 표현하면 1110110 이다.
  • 0.625 는 2진수로 표현하면 101 이다.
• 이제 정규화된 부동소수점 수를 구해야 한다.
  • 이전과 동일하게 소수점 왼쪽에는 숫자 1 만 위치하도록 시프트 연산을 해야 한다.
  • 오른쪽으로 6번 시프트 연산을 하면 1.110110101 가 나온다.
  • 6 (시프트 연산 수) + 1023 (bias) 를 하면, 0100 0000 0101 이 나온다.
• 마이너스이기 때문에 부호 비트는 1 이다.
• 지금까지 구한 부호 비트와 지수 비트를 합치면 아래와 같은 결과가 나온다.
  • 1 0100 0000 0101
  • 여기에 정규화된 부동소수점 수의 소수점 이하 자리를 더해주면 다음과 같다.
  • 1 0100 0000 0101 1101 1010 1
  • 이제 오른쪽에 0으로 패딩을 붙이면 끝난다.
  • 1 0100 0000 0101 1101 1010 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
• 결과: 1 (1, 부호) 100 0000 0101 (11, 지수) 1101 1010 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 (52, 가수)

기타 팁: 자바스크립트에서 0.1 과 0.2 를 더했을 때 결과가 이상한 이유

• 0.1 을 2진수로 바꾸면 0.000 1100 1100 1100 1100 ...
• 0.2 를 2진수로 바꾸면 0.00 1100 1100 1100 1100 ...

위와 같이 나온다. 2진수가 무한 소수 (혹은 순환 소수) 로 표현되는 것이다.

둘을 더하면

• 0.000 1100 1100 1100 1100 ...
• 0.001 1001 1001 1001 1001 ...
• ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
• 0.010 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110
• 0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110 가 결과로 나오고
• 이 이진수를 10진수로 바꿔보면 0.30000000000000004440892098500626161694526672363281 이 나온다.

결과적으로 2진수로 바꿨을 때 순환소수로 표현되어 어쩔 수 없이 정확한 10진수로 변환할 수 없어서 그렇다.