2의 보수란?

보수 기초 개념 익히기: n 의 보수란?

• n 진수를 표현할 때 n 의 제곱이 되기 위해 더해주는 수

10 진수로 예제 들어보기

• 13 에 대한 10 의 보수는 87 이다.
  • 가장 가까운 n 의 제곱이 100 이다.
• 133 에 대한 10 의 보수는 867 이다.
  • 가장 가까운 n 의 제곱이 1000 이다.

n-1 의 보수 구해보기

• n-1 의 보수는 n 의 보수에서 1 을 빼면 된다.
• 즉, 133 의 9 의 보수는 866 이다.

n-1 의 보수는 왜 구하는가?

• n-1 의 보수를 구하는 법은 알겠는데 왜 구하는지에 대한 감을 잡긴 어렵다.
• 8 진법에서 423(8) 의 8 의 보수를 구하려면 어떻게 해야 할까?
  • 1000(8) = 423(8) + x(8) 여기서 x 를 구해야 한다.
  • 여기서 우리는 자릿수의 변화와 또 익숙치 않은 8 진수라는 숫자를 다루게 되어 머리가 복잡해진다. 더 쉽게 구하는 방법이 없을까?
  • n-1 의 보수를 구하면 더 쉽다.
  • 777(8) - 423(8) 을 하면 된다. 마치 10 진수처럼 계산할 수 있어서 10 진수를 써온 인간에게 훨씬 친숙한 계산이 가능하다.
  • 354(8) 이 나온다.
    • 우리가 구한 것은 n-1 의 보수이니 이것은 7 의 보수이다.
  • 여기서 1 을 더해주면 우리가 얻고싶어 했던 8 의 보수가 나온다.
    • 355(8)

즉, 인간이 다양한 진법의 n 의 보수를 더 쉽게 구하려고 n-1 의 보수를 쓰게 된다.

2의 보수란?

• 2진수에서 한정된 비트로 부호가 있는 수를 표현할 때 사용하는 도구이다.
• 맨 앞의 비트를 부호로 사용한다.
  • 0: 양수, Positive, 1: 음수, Negative

2의 보수 표현 범위 구하기

• 부호가 있는 숫자 데이터에서 음수를 표현하기 위해 주로 사용한다.
  • 2의 보수를 이용해 회로를 간단하게 만들 수 있기 때문이다.

n 비트를 가진 데이터 타입에서 음수를 표현하는 방식

• 4 비트로 숫자를 표현한다고 가정하면, 0000 ~ 1111 까지 숫자를 표현할 수 있다.
  • 총 16 가지 종류의 숫자 표현이 가능하다.
  • 0과 양수는 0~7 까지의 8개의 범위를 갖는다.
  • 음수는 -1~-8 까지의 8개의 범위를 갖는다.
    • 이 음수 범위를 2의 보수로 표현한다.

4비트에서 2의 보수 양수 표현하기

• 양수는 일반적인 2진수와 똑같이 표현하면 된다.
• 7 을 표현하고 싶다면 0111 이다.

4비트에서 2의 보수 음수 표현하기

• 음수에서 7 을 표현하고 싶다면 2진수 7 에서 1의 보수 를 구하고 +1 을 하면 된다.
• 0111: 7
• 1000: 7의 1의 보수
• 1001: 7의 2의 보수
• 1001 이 -7 을 표현하게 된다.
• 그런데 2의 보수로 표현된 1001 이 -7 인 것을 알고 싶다면, 다시 2의 보수를 역산해야 한다.
• 1001 -> 0110 -> 0111 이렇게 -7 인 것을 알 수 있다.

2의 보수를 이용해 숫자 더해보기

2의 보수로 음수를 표현하는 것의 장점은 회로에서 덧셈만 구현하면 뺄셈까지 구현이 가능하다는 점이다.

0 이 나오는 케이스

아래는 3 의 음수인 -3 을 이용해 덧셈으로 뺄셈을 구현한 예제이다. 0 이 나오는 케이스를 먼저 다루는 이유는 결과값을 2의 보수로 역산해보지 않아도 쉽게 맞았다는 것을 알 수 있기 때문이다.

• 0011 (3)
• 1101 (-3)
• 0000 (0)

0 이 나오지 않는 케이스

0 이 나오지 않는 케이스는 결과의 실제 10진수 값을 알기 위해서 2의 보수로 역산을 한번 해보아야 한다.

• 0101 (5)
• 1001 (-7)
• 1110 (-2)
• 1110 -> 0001 -> 0010 (2)

역산 결과 정답을 올바르게 구한 것을 알 수 있다.

정리

• n 비트로 숫자를 표현할 때 양수와 음수를 모두 표현하고 싶다면, 보통 음수를 2 의 보수로 표현한다.
• 2 의 보수를 쉽게 구하기 위해서 1 의 보수를 먼저 구하고 +1 을 한다.
• 2 의 보수를 이용해 음수를 표현하면, 오직 덧셈 회로만을 이용해 뺄셈까지 구현이 가능해진다.

레퍼런스

https://st-lab.tistory.com/189